两个重要极限例题(两个重要极限例题详解)

例题来详细解释中心极限定理的应用如下：

假设某服装店每天的销售额服从均值为1000元，标准差为200元的正态分布。现在我们从该服装店连续抽取30天的销售额数据，求这30天的总销售额的概率分布。

解题步骤如下：

1.首先，我们已知每天的销售额服从均值为1000元，标准差为200元的正态分布。我们可以计算出每天销售额的期望值和方差：期望值为1000元，方差为200^2=40000元^2。

2.根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布。在这个例子中，我们抽取了30天的销售额数据，样本容量较大，因此可以应用中心极限定理。

3.根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，均值为总体均值（即每天销售额的均值）1000元，标准差为总体标准差除以样本容量的平方根。即，标准差为200元/√30≈36.55元。

4.现在我们可以根据正态分布的性质，计算总销售额在某个区间的概率。例如，我们想知道30天的总销售额在9000元到12000元之间的概率。我们可以先计算标准化后的区间上下限值：(9000-1000)/36.55≈245.17，(12000-1000)/36.55≈326.8。

5.接下来，利用标准正态分布表或计算工具，查找标准化后的区间上下限值对应的概率值，然后计算区间概率。例如，查表得到标准化后的区间上限值对应的概率为0.5954，下限值对应的概率为0.5987，然后计算区间概率为0.5987-0.5954≈0.0033。

6.因此，30天的总销售额在9000元到12000元之间的概率约为0.0033，即约为0.33%。

通过上述例题，我们可以看到中心极限定理的应用过程。它是一个重要的统计学原理，用于解释当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布的现象。这个定理在实际应用中经常被使用，特别是在样本容量较大时，可以通过中心极限定理来进行概率计算和推断。

带根号求极限，找共轭式求极限

例：设数列{an}满足：an=(1/n)^(1/n)，求数列{an}的极限。

解：根据海涅定理，我们需要判断函数f(x)=(1/x)^(1/x)在区间(0,+∞)上是否连续。由于f(x)在区间(0,+∞)上显然连续，因此我们可以直接运用海涅定理求解数列{an}的极限。根据海涅定理，数列{an}的极限为：

lim(an)=lim(f(n))=f(lim(n))=1

所以，数列{an}的极限为1。

极限是数学中重要的概念之一。典型的极限例题包括：求极限lim（x→a）f(x)，其中f(x)是一个函数，a是实数。例如，求极限lim（x→0）sin(x)/x，这是一个经典的例题。在解题过程中，可以利用泰勒展开、极限运算法则等 *** ，对函数进行简化和近似，最终得到极限的具体值。

这类例题对于理解极限的概念、计算技巧和数学推理能力都具有重要的培养作用。通过解决典型例题，我们能够更好地理解极限的概念，掌握极限的计算 *** ，并应用到更复杂的数学问题中。

极限的严格减性证明过程如下：

对于任意的正整数n，如果limx→∞(1/x)→0，则有：因为1/x趋近于0，所以limx→∞1/x→0。

对于任意的正整数n，如果limx→∞x(1)/x(2)→0，则有：因为x(1)和x(2)都趋近于1，所以limx→∞x(1)/x(2)→0。

对于任意的非负实数a、b，如果存在数N，使得对于任意的正整数n，都有

关于这个问题，假设有一个数列{an}，如果存在一个数a，满足对于任意给定的正实数ε，都存在正整数N，使得当ngtN时，有|an-a|ltε成立，那么这个数a就是数列{an}的极限。

下面我们来证明一个具体的例题：

证明数列{an}=1

的极限是0。

解：根据定义，我们需要证明对于任意给定的正实数ε，都存在正整数N，使得当ngtN时，有|1

-0|ltε成立。

根据绝对值的定义，有|1

-0|=|1

|ltε。

将不等式两边都取倒数，得到ngt1/ε。

因此，当取N=?1/ε?+1时，当ngtN时，有：

|1

-0|=1

lt1/(?1/ε?+1)≤1/(1/ε)+1=ε

所以，数列{an}=1

的极限是0。

相关定义：

1、设为数列。,如果存在正数，使得时有.则称数列收敛于,这个定数称为数列的极限，并记作或.读作当趋于无穷大时，的极限等于或趋于.

另外，,,的定义:略。

2、设为数列。如果存在,对任意正数,使得.则称数列不收敛于。如果对任意常数，都有不收敛于.成该数列是发散数列

类似可以定义,,。略。

利用极限定义证明数列极限是数列极限问题的基本问题，证明不易理解。在推文“有了它，什么考试都不怕”中，我们介绍了很多简单例题，请同学们参考学习。这里介绍一个考研试题和一个练习。

例1、暨南大学2012年考研试题。（1）证明：试用 *** 证明：,其中

（2）叙述的定义。

解：对,要使得,注意

只要，则.取,则对任意必有.由定义知道.

(2)略。

注记：用定义法证明数列极限是一种基本 *** ，证明的难点在于寻找,使得当时成立.这一步有很多技巧。

对于,找的出发点有两个：

(a)容易解不等式，解出的结果.则为所求。

(b)不等式很难求解，放大（这一步技巧多），再解不等式,解出的结果.则为所求。

(c)也可以由已知条件给出。